بهینه سازی ارتفاع و سطح مقطع اعضا شبکه دولایه فضاکار

بهینه سازی ارتفاع و سطح مقطع اعضا شبکه دولایه فضاکار همراه با تقریب سازی

واژه های کلیدی : بهینه سازی،تقریب سازی ،الگوریتم وراثتی،سازه فضاکار،دامنه متغیرهای طراحی

چکیده :

درطراحی بهینه سازه فضاکار ، متغیرهای طراحی بنحوی محاسبه میشوند که وزن، درضمن ارضاء کلیه محدودیتهای طراحی کمینه گردد.
در این مقاله سطح مقطع اعضا و ارتفاع شبکه دولایه فضاکار به عنوان متغیرهای طراحی انتخاب گردیده اند.
تابع هدف،وزن شبکه ومحدودیت ها نیز حداکثر تنش وضریب لاغری اعضا و حداکثر تغییر مکان گره ها می باشند.
درهرمرحله ازبهینه یابی برای محاسبه محدودیتها بایستی ده هامرتبه سازه تحلیل گردد،این امرسبب بالارفتن زمان بهینه سازی شده وروی آوردن به روشهای تقریبی رادر پی داشته است.
با استفاده از نتایج حاصل از تعداد معدودی تحلیل سازه،می توان محدودیت های طراحی را تقریب سازی کرد.

تابع تقریبی مورد استفاده در این تحقیق از نوع دو نقطه ای مرتبه دوم باشد، که در آن از اطلاعات دقیق مربوط به دو نقطه طراحی (مقدار توابع و مشتقات تا مرتبه دوم آن)استفاده می شود. تابع تقریبی مذکور در مجاورت این دو نقطه معتبر می باشد.
روش بهینه سازی بکار گرفته شده،روش الگوریتم وراثتی می باشد که جهت معتبر بودن توابع تقریبی، دامنه متغیرهای طراحی آن، به بازه های کوچک تری محدود و جواب بهینه در این بازه با کمک توابع تقریبی شناسایی می شود.
با توجه به خصوصیات جواب،بازه متغیرهای طراحی تغییر و این روند تا رسیدن به بهینه مناسب مسئله ادامه می یابد.
تحقیق نشان میدهدتابع تقریبی مورداستفاده،دربهینه سازی شبکه دولایه فضاکار ،تاثیرچشمگیری درکاهش زمان ورسیدن به جواب اقتصادیتربخصوص درسازه های بزرگ دارد.

مقدمه:

تاریخچه بهینه سازی رامیتوان درروزگارنیوتن،لاگرانژ وکوشی ردیابی کرد.
هم اکنون بهینه سازی یکی ازشاخه های ریاضیات محسوب میشودومدتهاست بهینه سازی سازه هانظرمحققان رابه خودجلب کرده است.
الگوریتم وراثتی یکی ازکاراترین روشهای بهینه سازی وازتکامل یافته ترین روشهادر میان روشهای بهینه سازی الهام گرفته از طبیعت میباشد.
اصول اولیه این روش توسط جان هالند،در سال1962پایه گذاری شدوپس ازآن وبخصوص ازاوایل دهه80به بعد،مقاله هاورساله های بسیاری درتایید شوه بهینه سازی توابع توسط این الگوریتم انتشاریافته است.

فهرستی ازمراجع درماخذوجود دارد.درزمینه مهندسی سازه،راجیو وکریشنامورتی نشان داده اندکه الگوریتم وراثتی،مناسبترین روش بهینه سازی سازه های فضاکار بامتغیرهاگسسته میباشد.
مبنای طبیعی الگوریتم وراثتی براین اصل استواراست که رقابت موجودات زنده برای تصاحب منابع محدود طبیعی،باعث حذف موجودات ضعیف ازچرخه حیات گشته ونقش موجودات قوی درتولید نسلهای بعدی بیشترمیشود.
دربهینه سازی سازه هابااستفاده ازالگوریتم وراثتی درهر نسل برای محاسبه قیدهای حاکم برطرح نیازمندتحلیل سازه میباشیم،تحلیل مستقیم سازه بخصوص برای سازه های بادرجات آزادی زیاد مستلزم صرف زمانی طولانی میباشد.

 طبیعی است که درپی چاره ای برای کاهش زمان عملیات باشیم.یکی ازکاربردیترین روشهابرای کاهش زمان تحلیل مستقیم سازه،استفاده ازتقریبسازی میباشد.
مقاله اشمیت و همکارانش، تحت عنوان “مفاهیم تقریب سازی برای سازه ها” که در سال 1974 ارائه گردید، شروعی بر استفاده جدی از تقریب سازی در بهینه سازی سازه های فضاکار بود و از آن پس روش های گوناگون تقریب سازه ها به کار گرفته شده است.

روش تقریبی مورداستفاده دراین تحقیق قبلا درماخذ دربهینه سازی سطح مقطع اعضای شبکه دولایه فضاکار وباروش بهینه سازی،توان جریمه،به کار گرفته وجوابهای رضایتبخشی درپی داشته است.

تقریب سازی

دراین روش،دو تابع متفاوت،از نوع دو نقطه ای مرتبه دوم ،درساختن توابع محدودیت بصورت تقریبی باهم مشارکت می کنند.

منظور از درجه دوم بودن تابع تقریبی این است که این تابع بر مبنای مقادیر تابع و مشتقات تا مرتبه دوم، نسبت به متغیرهای طراحی بیان می گردد و منظور از دو نقطه ای بودن تابع تقریبی این است که این تابع بر مبنای اطلاعات دقیق در دو نقطه طراحی به دست  می آید( در دو نقطه سازه تحلیل دقیق می گردد و مقادیر نیرو در اعضاء تغییر مکان گره ها و مشتقات اول ودوم آنها نسبت به کلیه متغیرهای طراحی محاسبه می گردد.) مسلما توابعی که به این شکل تقریب سازی می کردند تنها در مجاورت دو نقطه دقیق طراحی،خطای قابل چشم پوشی دارند.

درالگوریتم وراثتی، هرمتغیر طراحی بوسیله رشته ای ازاعداد،مشخص میگردد.این رشته ، ژن مربوط به آن متغیر نامیده می شود.
از کنارهم قرار دادن ژن های مربوط به کلیه متغیرها،رشته ای باطول ثبت ایجاد میشودکه به کروموزوم موسوم است.
یک کروموزوم بامقادیر مشخص از اعداد( در اینجا صفر و یک)یک فرد از فضای طراحی رامعرفی می کند.

بامشخص شدن طول رشته کروموزومهامربوط به یک مسئله بهینه سازی،تعداد مشخصی ازرشته هابصورت تصادفی ایجادمیشوندکه به آنهاجمعیت اولیه گفته میشود.
الگوریتم وراثتی دراین جمعیت اقدام شناسایی فردبهینه میکندودرادامه بااستفاده ازعملکردهای مختص الگوریتم،جمعیت جدیدی راجایگزین جمعیت قبلی میکندوروند قبلی درنسل جدیدتکرارمیگردد.
این مراحل تارسیدن به جواب بهینه مناسب مسئله وارضای شرایط همگرایی ادامه می یابد.دراین تحقیق،تعداد40 نفربعنوان جمعیت درنظرگرفته شده است.

دامنه انتخاب متغیرهای طراحی:

در این نوشتار،سطح مقطع اعضا و ارتفاع شبکه دو لایه فضاکار ، متغیرهای مسئله بهینه سازی را تشکیل می دهند.
اعضای شبکه بالا، پایین ومیانی هریک به سه تیپ تقسیم می شوند.بنابراین سطح مقطع اعضادرمجموع9متغیر طراحی را تشکیل می دهند.
جهت دسته بندی اعضاء ابتدا سازه با سطوح مقطع وارتفاع اولیه تحت بار ثقلی،تحلیل می گردد.
سپس هرگروه از اعضا(شبکه پایین، بالا و میانی)باتوجه به نیروی محوری موجود درآنها به سه تیپ تقسیم می شوند.
سطح مقطع اعضا، امکان انتخاب از 16 پروفیل جدول (1) را دارند.
بنابراین به هریک از متغیر طراحی سطح مقطع در هر فرد، یکی از پروفیل های 16 گانه اختصاص می یابد.

%d8%ac%d8%af%d9%88%d9%84-%d9%85%d9%82%d8%a7%d8%b7%d8%b9-%d8%b9%d8%b1%d8%b6%db%8c

جهت متغیر ارتفاع، در این نوشتار،16 مقدار قابل انتخاب می باشد. برطبق تجارب مهندسی،ارتفاع مناسب جهت شبکه دو لایه فضاکار بین مقادیرL/10 و L/15 می باشد، که L عرض زمین است. لذا این 16 مقدار برای هر شبکه، با تقسیم کردن این محدوده به 15 قسمت مساوی، حاصل می شوند.

محدود کردن دامنه متغیرهای طراحی به یک بازه کوچکتر

دراین تحقیق،توابع نیروی داخلی اعضا وجابجایی گره هابصورت تقریبی محاسبه میشوند.بدین منظور،ابتدا تحلیل دقیق دردو نقطه طراحی(دو فرد) انجام میگیرد.
در این دو نقطه علاوه بر نیروی اعضا و جابجایی گره ها، مشتقات اول و دوم توابع نیرو و تغییر مکان،نسبت به هر ده متغیر طراحی،تعیین می شود و با استفاده از این اطلاعات، مقادیر نیروی اعضا و تغییر مکان گره ها در سایر نقاط طراحی،تخمین زده می شود.

با توجه به اینکه محاسبه توابع تقریبی مذکور بر پایه مشتقات توابع پیوسته استوار است،در صورتی خطای تقریب سازی قابل چشم پوشی است که نقطه یا فرد جدید در نزدیکی دو نقطه دقیق طراحی قرار گیرد. براین اساس استفاده از توابع،جهت سازه ای که دامنه انتخاب هریک از متغیرهای طراحی آن، مثلا شامل 16 عضو گسسته می باشد،با استفاده از تحلیل دقیق در تنها دو نقطه طراحی از این مجموعه وسیع، نتایج نامطلوبی ارائه خواهد کرد. لذا در این تحقیق ، فضای طراحی به بازه کوچکی از دامنه اصلی محدود شده است. در ادامه نحوه انتخاب این بازه و چگونگی  تغییر آن در طول فرایند بهینه یابی ،شرح داده خواهد شد.

چنانچه اشاره شدمتغیرهای طراحی سطح مقطع از16نیمرخ عرضی جدول شماره(1)ومتغیرارتفاع نیزاز16مقدارعددی گسسته انتخاب میشوند.
جهت داشتن دقت کافی در استفاده از تقریب سازی،در هرمرحله بهینه سازی،هر متغیر تنها ازمیان4مقدارعددی مختلف انتخاب میگردد.
برطبق تجارب کسب شده،در مرحله اول بهینه سازی،هرمتغیر ازمقادیرگسسته هفتم،هشتم، نهم  دهم دامنه خودانتخاب می شود.
جدول شماره(2)دامنه طراحی جدید رانمایش میدهد.بافرض اینکه عرض زمین56مترباشد،مقادیرارتفاع دراین جدول براسای بند2-2محاسبه شده اند.

%d8%af%d8%a7%d9%85%d9%86%d9%87-%d8%b7%d8%b1%d8%a7%d8%ad%db%8c-%d8%b3%d8%a7%d8%b2%d9%87-%d9%81%d8%b6%d8%a7%da%a9%d8%a7%d8%b1

در این جدول، مقادیر عددی بازه مجاز هر متغیر نشان دهنده شماره نیمرخ عرضی در جدول شماره (1) می باشد.
پس از انتخاب بازه، ابتدا تحلیل در دو نقطه طراحی(دو سازه) انجام می گیرد.

متغیرهای طراحی درنقطه اول،همگی مقادیرستون دوم بازه مجاز ودرنقطه دوم،مقادیرستون سوم بازه مجاز هرمتغیر را اختیار میکنند.

سپس با استفاده از روابطی که در قسمت تحلیل حساسیت، بیان گردیده مقادیر مشتقات توابع نیرو و جابجایی، در این دو نقطه  نسبت به ده متغیر طراحی محاسبه می گردد. پس از این ،عملیات  بهینه یابی بر طبق الگوریتم وراثتی آغاز شده و به جای تحلیل مستقیم سازه، برای محاسبه مقادیر نیروی اعضاوجابجایی گره های افراد،این مقادیربصورت تقریبی وبراساس اطلاعات موجود دردونقطه اولیه،محاسبه میشوند(با استفاده ازروابطی که درقسمت تقریب سازی آمده است).

بدین ترتیب روند الگوریتم وراثتی درنسلهای مختلف پی گیری شده وبعد ازحصول شرایط همگرایی، فرد بهینه بازه جاری، معرفی میشود.

پس از مشخص شده فرد بهینه بازه جاری ، با توجه به مقدار هریک از متغیرهای طراحی در این فرد، بازه جدیدی جایگزین بازه فعلی می گردد تا عملیات بهینه یابی در بازه جدید انجام شود. در ادامه نحوه تغییر بازه با ذکر یک مثال بیان می گردد.
فرض کنیدجدول(3)،فرد بهینه بازه جدول(2) رامعرفی نماید،با بررسی جایگاه مقادیراختصاص یافته به هریک ازمتغیرهای طراحی درجدول دوحالت پیش می آید:

  • هریک ازمتغیرهای طراحی که فرد بهینه،مقادیرمیانین بازه مربوط به آم متغیررا اختیار کرده باشد(یعنی مقادیر ستونهای شماره 2 و 3)،تغییری درردیف مربوط به آن متغیردربازه، ایجاد نمیشود.
  • هریک از متغیرهای طراحی که فرد بهینه مقدار اولیه یا انتهایی بازه مربوط به آن متغیر را انتخاب کرده باشد(یعنی مقدار ستون 1 یا 4 )، ردیف مربوط به آن متغیردر بازه، به اندازه دو ستون در دامنه اصلی به سمت چپ یا راست منتقل می گردد.( دامنه اصلی برای متغیرهای سطح مقطع،جدول(1) و برای متغیر ارتفاع، مطابق بند 2-2 می باشد).

%d8%a8%d9%87%db%8c%d9%86%d9%87-%d8%a8%d8%a7%d8%b2%d9%87-%d8%b3%d8%b7%d8%ad-%d9%85%d9%82%d8%b7%d8%b9

بااعمال تغییرات فوق دربازه جدول (3) وبراساس مقادیراختصاصا یافته به فرد بهینه،به بازه جدید مطابق جدول زیر می رسیم.

%d8%a8%d8%a7%d8%b2%d9%87-%d8%aa%d8%ba%db%8c%db%8c%d8%b1-%db%8c%d8%a7%d9%81%d8%aa%d9%87-%d8%b3%d8%b7%d8%ad-%d9%85%d9%82%d8%b7%d8%b9

بامشخص شدن بازه جدید،الگوریتم وراثتی واردعمل شده ودرفضای جدید،اقدام به بهینه سازی ومعرفی فردبهینه بااستفاده ازتوابع تقریبی می نماید.
روند تغییر بازه و بهینه یابی در بازه جدید،تا رسیدن به جواب نهائی مسئله ادامه می یابد.

رمزگذاری

بطورکلی طول یک زیررشته(تعدادبیتهای یک ژن)،به این ترتیب محاسبه میگردد که اگراکنون متغیرiام رااز بین m مقدارمختلف انتخاب نمود،آنگاه طول زیررشته(li)ازرابطه زیربدست می آید:

2li ≥m  (1)

هریک از10متغیر طراحی دراین تحقیق قادربه انتخاب 4 مقدار مختلف میباشند پس رابطه (1) به شکل زیر درمی آید:

2li ≥4                li=2

یعنی هریک از متغیرهای طراحی با یک ژن دو بیتی، به الگوریتم وراثتی معرفی می گردند. 4 ترکیب مختلف این ژن ( با اعداد صفر یک) 4 عضو بازه مربوط به این متغیر را رمزگذاری می نماید. یک کروموزم که از کنار هم گذاشتن، زیر رشته های مربوط به کلیه متغیرهای طراحی ( با اختصاص یکی از اعداد صفر و یک به تمامی بیت ها) بدست می آید،معرف یک پاسخ رمزگذاری شده در فضای طراحی است.شکل (1) یک کروموزم را نمایش می دهد.

%da%a9%d8%b1%d9%88%d9%85%d9%88%d8%b2%d9%85

رمزگذاری زیر رشته ها

جهت رمزگشایی ژنهایی مربوط به سطح مقطع اعضاء ابتدا زیررشته iام، بااستفاده از رابطه زیربه عدد Dدرمبنای ده تبدیل میشود:

%d8%b1%d9%85%d8%b2%da%af%d8%b0%d8%a7%d8%b1%db%8c-%d8%b2%db%8c%d8%b1-%d8%b1%d8%b4%d8%aa%d9%87

در این رابطه،l طول زیر رشته یا تعداد بیت ژن iام و ( (iمقدار عددی بیت i است که یکی از دو مقدار صفر و یک می باشد. در تحقیق حاضر عدد D مقادیر صحیح 1 تا 4 را به خود می گیرد. با مشخص شده D برای هریک از متغیرهای سطح مقطع، به ردیف مربوط به آن متغیر در بازه ای که در آن بهینه یابی انجام می شود. مراجعه و شماره پروفیل که عددی بین 1 تا 16 می باشد، مشخص می گردد. با مشخص شدن شماره پروفیل ،خصوصیات فیزیکی پروفیل قابل دستیابی خواهد بود.

رمزگشایی زیر رشته مربوط به ارتفاع، مشابه رمزگشایی زیر رشته مربوط به سطح مقطع می باشد به این ترتیب که پس از تعیین D( یکی از اعداد 1 تا 4)،با مراجعه به ردیف مربوط به متغیرارتفاع و در بازه جاری، میزان ارتفاع معین می گردد. با مشخص شدن مقدار تمام متغیرهای طراحی برای فرد مورد نظر، شبکه دو لایه ای معرفی می شود که برای برنامه تحلیل و تقریب ساز کاملا شناخته شده می باشد.

بارگذاری سازه

ازآنجا که سازه های فضاکار عملا سازه های یک طبقه با پوشش سبک و وسعت زیاد(بدون ستون در وسط)میباشند.
لذانیروهای جانبی دراین نوع سازه هابه راحتی به کمک بادبندهاویا دیوارهای برشی به پی منتقل میشودوبه همین دلیل درسازه های فضاکار بیشترطرح بهینه سازه هادرمقابل بارهای استاتیکی مطرح است.
در این تحقیق،شبکه دو لایه تحت بار ثقلی در نظر گرفته شده است.

تابع هدف و تابع هدف اصلاح شده

در بهینه سازی سطح مقطع اعضا و ارتفاع شبکه دو لایه، تابع هدف بصورت زیر در نظر گرفته می شود:

%d8%aa%d8%a7%d8%a8%d8%b9-%d9%87%d8%af%d9%81

دراین رابطه،Wوزن تمامی اعضای شبکه دولایه،nتعداداعضای شبکه liو Aiسطح مقطع وطول عضوiام وpچگالی اعضای میباشد.قیدهای این مسئله نیزبصورت زیرمیباشند.

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-4

در این روابط، n تعداد اعضا و m تعداد گره های سازه، si  تنش در عضو iام، si تنش مجاز عضو iام، u vi  تغییر مکان قائم گره I و uv تغییر مکان مجاز قائم گره های سازه، li  ضریب لاغری عضو iام، li ضریب لاغری مجاز همان عضو می باشند.از آنجا که محاسبات روش وراثتی برای توابع بدون قید بیان شده است،جهت استفاده از این روش برای توابع هدف مقید،باید مجموعه تابع هدف مقید و قیدهای حاکم بر آن، به تابع آزاد معادل(تابع هدف اصلاح شده ) تبدیل شوند.
جهت این امر،تابع جریمه که نشان دهنده میزان نقص قیدها، برای هر سازه میباشد به شکل زیر تعریف می شود:

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-5

دراین رابطهPتابع جریمه،nتعداداعضای شبکه دولایه وmتعداد گره های آن میباشند.hi,ei,giنیزقیدهای حاکم برسازه میباشندکه قبلا تعریف شده اند.
تابع آزاد معادل با استفاده از تابع جریمه فوق به شکل زیر ارائه می شود:

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-6

دراین رابطه Rpضریبی است که مشخص میکندطرح نقض کننده قید،به چه اندازه درتولید نسل جدید مشارکت کند.درتحقیق مقدارRpبرابرعدد8درنظرگرفته شده است.

تابع برازندگی

محاسبات روش وراثتی جهت بیشنه سازی توابع انجام می شود. لذا برای استفاده از الگوریتم وراثتی در مسائل کمینه سازی،تابع هدف از یک عدد ثابت و بزرگ کم می شود. تابع حاصل تابع برازندگی نامیده می شود:

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-7

در این رابطه،Fi برازندگی فرد یا طرح iام،Fi   وزن اصلاح شده این فرد وK عددی ثابت و بزرگ می باشد. بنابراین بیشنه سازی تابع  برازندگی توسط الگوریتم وراثتی،با کمینه سازی تابع هدف اصلاح شده معادل خواهد بود.
در این تحقیق ،برای انتخاب عدد ثابت و بزرگ K ازروش ارائه شده توسط راجیو و کریشنامورتی، استفاده می شود:

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-8

دراین رابطه qبیشترین وکمترین مقادیرتابع هدف اصلاح شده درنسل جاری میباشند.پس ازمحاسبه تابع برازندگی همه افراد، بهترین فردنسل معرفی میشود.

شرایط همگرائی

شرایط همگرائی در این تحقیق، در دو مورد بکار گرفته می شوند.
الف) همگرائی در بازه جاری متغیرهای طراحی و اتمام عملیات بهینه یابی در این بازه
ب) اتمام کل عملیات بهینه یابی با رسیدن به جواب بهینه مسئله و پایان برنامه.
درحالت الف)در این تحقیق مشابه بودن تابع برازندگی هفتاد وپنج درصد اعضای یک نسل ویاتجاوزنمودن تعدادنسل های تولید شده ازحدمعینی(50 نسل)بعنوان شرایط همگرائی دربازه جاری متغیرهای طراحی،درنظرگرفته شده اند.

در حالت ب) در این قسمت، شرط همگرائی، مشابه بودن بازه جدید متغیرهای طراحی با بازه قبلی متغیرها می باشد.
بعد از برآورده شدن این شرط،جواب بهینه بازه قبلی متغیرهای طراحی به عنوان جواب مسئله بهینه سازی مورد نظر،معرفی میگردد.
همچنین باتوجه به تقریبی بودن تحلیل های سازه،جهت کنترل نقض نشدن قیدها، این جواب مورد تحلیل دقیق قرار می گیرد.

میزان خطای ناشی از استفاده از تحلیل تقریبی

برای محاسبه میزان خطا،یک شبکه دو لایه15*15به دوصورت دقیق وتقریبی موردتحلیل قرارگرفته ونتایج این دوحالت بررسی ومقایسه گردیده اند.
دراین سازه فضاکار ،میانگین خطا درمحاسبه میزان تغییرمکان گره ها،3درصد(3± درصد)وبیشترین مقداراین خطانیز4/7درصدبوده است.این میزان خطاکاملا قابل چشم پوشی است.
میزان خطای ناشی از محاسبه نیروها بصورت تقریبی، بیش از میزان خطا در محاسبه تغییر مکان ها می باشد.
این خطابرای نیروهای بیش از10تن،کمتراز5درصدمdباشد وبا افزایش نیرو،میزان خطا به شکل محسوسی کم میشودامابرای نیروهای کمتراز5 تن،خطای15درصد نیزمشاهده شده است.

نکته قابل تامل این است که چون اعضای شبکه دولایه فضاکار ،دسته بندی میگردند،تاثیراین خطادرجواب نهایی مسئله بهینه سازی کم میگردد.
کنترلی که بر نقض محدودیت ها انجام می گیرد تایید کننده این موضوع است،در انتهای عملیات بهینه یابی، جواب نهایی مسئله که با کمک گرفتن از توابع تقریبی به دست آمده است،به صورت دقیق مورد تحلیل قرار می گیرد و نقض شدن محدودیت ها به صورت دقیق تر ، بررسی و کنترل می گردد.
در هیچ یک از مسائل حل شده، با تحلیل دقیق جاب مسئله،نقض محدودیت ها مشاهده نگردیده است.

تحلیل حساسیت

محاسبه مشتق توابع محدودیت و هدف نسبت به متغیرهای طراحی،تحلیل حساسیت خوانده می شود.
به منظوراستفاده از توابع تقریبی دربهینه سازی سازه ها،بدست آوردن مشتقات توابع نیرو وتغییرمکان جهت تقریب سازی قیودبصورت چند جمله ای امرضروری می باشد.
مشتقات توابع صریح براحتی قابل محاسبه میباشداما درموردتوابع ضمنی،که دراکثرمسائل سازه ای پیش می آید،محاسبه مشتقات نیازبه تحلیل سازه دارد.
محاسبه مشتقات توابع،به دو روش تقریبی(تفاضلات محدود) و تحلیلی دقیق محاسبه می گردد.
برای رسیدن به دقت مناسب، ضرورت دارد که در محاسبات بهینه از مشتقات تحلیلی دقیق استفاده شود.

  • روش تحلیلی محاسبه مشتقات نیرو و تغییر مکان نسبت به متغیرهای طراحی

تحلیل سازه ها فضاکار با روش تحلیل ماتریسی منجر به حل دستگاه معادلات به صورت زیر می گردد.

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-9

که kماتریسی سختی سازه،Dبردارتغییرمکان گرههاوFبردارنیروهای گرهی بوده و FوK معمولا تابعی ازمتغیرهای طراحی(j=1,2,………n وxi)میباشند کهnنشان دهنده تعدادمتغیرهای طراحی است.

دراین روش ازرابطه(9) نسبت به متغیرطراحی (j=1,2,………n وxi) مشتق جزئی گرفته میشودو پس ازمرتب کردن رابطه زیرحاصل میگردد:

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-10

طرف راست رابطه(10) رابردار نیروی مجازی مرتبط با متغیر xj می نامیم وآنرا بصورت   fنشان میدهیم بنابراین :

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-11-12

  • محاسبه مشتقات تغییر مکان 1

باتوجه به رابطه(12) بادردست داشتنf وحل دستگاه معادلات،میتوان مشتقات تغییرمکان را تعیین نمود.برای محاسبه fباتوجه به رابطه(11)محاسبه2موردنیازمیباشد.درزیربه این 2مورد میپردازیم.

  • محاسبه مشتقات نیروهای خارجی 3

باتوجه به نوع نیروی خارجی وارده به گره ها،میتوان مشتق دقیق آنها رانسبت به متغیرهای طراحی حساب نمود ویا ازرابطه تفاضلات محدود،مشتق تقریبی آن رابصورت زیرمحاسبه کرد:

%d9%81%d8%b1%d9%85%d9%88%d9%84

البته دراکثر موارد،این نیروها مستقل از متغیرهای طراحی می باشند و در این صورت مشتق آنها برابر صفرخواهد بود.

  • محاسبه مشتقات ماتریس سختی4

درروش تحلیلی،برای محاسبه مشتق ماتریس سختی(K)نسبت به متغیرهای طراحی،به منظور اشغال کردن کمترحافظه دررایانه بهتراست مشتق ماتریس سختی ابتدادرسطح آلمان محاسبه گردد،یعنی داشته باشیم:

%d8%b1%d8%a7%d8%a8%d8%b7%d9%87-14

نحوه محاسبه 4با استفاده از 5 مانند عمل نصب کردن(PLant) ماتریس سختی سازه با کمک ماتریس سختی المانها بوده و ne تعداد المان های سازه می باشد. به عبارت دیگر برای محاسبه ماتریس سختی المان،از ماتریس های سختی مربوط به اعضا، نسبت به متغیر طراحی مورد نظر ، مشتق دقیق گرفته می شود.این عمل برای کلیه اعضا تکرار و عمل نصب در ماتریس کلی انجام می گیرد.

درآنچه که گذشت،نحوه محاسبه  2بیان گردید وبراساس رابطه (11)،f براحتی محاسبه شده وامکان حل دستگاه معادلات رابطه(3-5)،فراهم میشود.
با حل این دستگاه معادلات،بردار مشتق تغییر مکان نسبت به متغیر طراحی 1بدست می آید.

  • محاسبه مشتقات مربوط به نیروهای داخلی اعضا

براساس روابط تحلیل ماتریسی سازه برای زیر ماتریس های سختی یک المان روابط زیر برقرار است:

15-16

با گرفتن مشتق از طرفین رابطه(15)، داریم:

17

با توجه به بند قبل،6در رابطه بالا معلوم می باشند، همچنین dib و djb از تحلیل سازه  به دست می آیند و اگر از زیر ماتریس های سختی اعضاء نسبت xj مشتق گرفته شود و نتیجه در رابطه (17) جانشین شود7حاصل می گردد.

  • محاسبات مشتق سختی نسبت به متغیرهای طراحی4

چنانچه دیدیم جهت محاسبات9  احتیاج به تعیین مشتقات ماتریس سختی نسبت به متغیرهای طراحی4 است که در اینجا به بیان نحوه محاسبه دقیق آن می پردازیم،ضمنا در این نوشتار متغیرهای طراحی سطح مقطع اعضا و ارتفاع شبکه خواهند بود.

18-19

با توجه به روابط معلوم بین k11b, k12b, k21b, k22b با تعیین شدن 10معین خواهد شد لذا محاسبات را تنها جهت k11b  انجام می دهیم. روابط بین زیر ماتریس های سختی به ترتیب زیراست:

%d9%81%d8%b1%d9%85%d9%88%d9%84-20

سیستم دولایه مورد بررسی این نوشتار،ازدوشبکه مربعی باطول ضلع مربع برابرaدربالاوپایین تشکیل شده است واعضای میانی آن همگی مورب میباشند.

  • محاسبه11

%d9%81%d8%b1%d9%85%d9%88%d9%84-21

اگرKe ماتریس سختی عضو i ام ومتغیر طراحی،سطح مقطع عضو  jام باشد.دوحالت رخ میدهدکه روابط زیر،مقدار را درهرحالت نشان میدهند:

22-23

  • محاسبه 12

  • جهت المانهای لایه بالا و پایین،با توجه به اینکه ماتریس سختی این المان ها مستقل از h می باشد، داریم:

%d9%81%d8%b1%d9%85%d9%88%d9%84-24

  • برای المان های جانی،که همگی مورب هستند،محاسبات را با فرض اینکه رابطه (25) برقرار باشد انجام می دهیم.
    بدیهی است برای سایرحالات،علامت برخی ازعبارتها تغییرخواهد کرد.دراین روابط ،اندیس jمعرف گره انتهای عضو واندیسIمعرف گره ابتدای عضو می باشد.

25-28

با جانشینی مقادیر رابطه(28) در رابطه (26) داریم:

29

و بعد از آن مشتق گیری داریم:

30

بدین ترتیب،مشتق ماتریس سختی کل سازه نسبت به متغیرهای طراحی تعیین وبااستفاده ازروابط ارائه شده،محاسبه مشتق نیروی اعضا وتغییر مکان گره ها نسبت به متغیرها(جهت تعیین توابع تقریبی)ممکن خواهدشد.

در ادامه نحوه محاسبه توابع تقریبی ارائه می شود.

تقریب سازی

در همه روش های بهینه سازی نیاز به محاسبات مکرر مقدار تابع هدف و محدودیت های طراحی می باشد.
دربهینه سازی سازه هانیز درهرمرحله ازبهینه یابی،زیربرنامه تحلیل سازه،جهت محاسبه محدودیتهای طراحی بارهافراخوانده میشودکه این امرمستلزم صرف زمان زیادی بخصوص برای سازه های بزرگ،میباشد.
برای رفع این نقیصه،یعنی کاهش زمان محاسبات و کاربردی نموده بهینه یابی، با رجوع به روش های تقریب سازی،مقادیر محدودیت های طراحی یعنی نیروها(تنشها)وجابجایی ها، در هر مرحله بهینه یابی،بصورت تقریبی محاسبه و به جای مقادیر دقیق به کار می روند.

در این نوشتار،روش تقریب سازی ترکیبی درجه دوم مورد استفاده قرار گرفته است.
این روش مبتنی برمشتقات مرتبه دوم توابع میباشدوقبلا دربهینه سازی سطح مقطع اعضا شبکه دولایه فضاکار ،کارایی چشمگیری داشته است.
قبل ازبیان این روش،یک روش تقریب سازی مبتنی برسری تیلوروباماتریس هسیان تقریبی که پایه روش این نوشتاراست معرفی میگردد.

  • تقریب دو نقطه درجه دوم با ماتریس هسیان تقریبی

در این روش از سه جمله اول بسط تیلور استفاده می گردد و بیان ریاضی آن به صورت زیر است:

31

که می توان آن را به صورت ماتریسی زیر نوشت:

32

در این رابطه Xi نقطه طراحی موجود( پیشین)،%d8%a8%d8%b1%d8%af%d8%a7%d8%b1-%da%af%d8%b1%d8%a7%d8%af%db%8c%d8%a7%d9%86بردار گرادیان و (H(xi ماتریس هسیان در نقطه Xi است که درایه های آن مشتقات دوم تابع نسبت به متغیرهای طراحی می باشند:

%d9%81%d8%b1%d9%85%d9%88%d9%84-33

از آنجایی که محاسبه مشتقات دوم (ماتریس هسیان) مستلزم هزینه زیاد رایانه ای می باشد، در این روش به منظور کم کردن حجم ذخیره سازی ماتریس هسیان، این ماتریس قطری فرض شده (یعنی عناصر غیرواقع بر قطر اصلی صفر هستند) که باعث پایین آمدن دقت تقریب سازی می گردد.
این روش پایه روش تقریب سازی این نوشتار است،که چنانکه خواهیم دید،در آن دقت تقریب سازی قابل قبول می باشد.

  • محاسبه نیروهای تقریبی

برای محاسبه نیروها،با توجه به رابطه مستقیم نیروی اعضای سازه فضاکار باسختی(سطح مقطع) آنها سری تیلوربصورت مستقیم استفاده میشود:

34

چنانچه ازرابطه فوق مشتق گرفته شود ومختصات نقطه X0 وبردارمشتق مرتبه اول تابع درنقطه X0جایگزین گردد،مقدارmبدست می آید.

35

  • محاسبه تغییر مکان های تقریبی

با توجه به ارتباط عکس تغییر مکان گره ها با سطح مقطع اعضا، در این قسمت سری تیلور به صورت معکوس استفاده می شود. با انتخاب متغیر واسطه yiو محاسبه مشتقات مرتبه اول ودوم تابع g(Y) و جایگزینی در رابطه (34) رابطه زیر حاصل می گردد.

36

باجایگزینی X0 و بردار مشتق مرتبه اول تابع در نقطه X0 درمشتق رابطه (17) مقدارm به دست می آید:

37

  • تقریب سازی درجه دوم ترکیبی

روش ترکیبی درجه دوم(Hybrid Quadratic Approximation))روش مورداستفاده دراین نوشتار است که عملکردبسیارمناسب وقابل قبول آن درادامه نشان داده شده است.
این روش ترکیبی،مبتنی بر مشتقات مرتبه دوم است و توضیح آن به این شکل است:

چنانچه رابطه (34)با gq(X) ورابطه (36) با gqr(X) معرفی شود واین دورابطه ازیکدیگر کسرگردند،اختلاف این دوتابع، gc(X)برابرخواهد بود با :

38-39

و پس از ساده سازی رابطه زیر به دست می آید:

40

اگر رابطه داخل کروشه،iα نامیده شود، داریم:

41

چون عبارت xهمواره مثبت می باشد داریم:

42

دراین حالت مشاهده میگرددکه تابع gq(X) موثرتراست،بعبارت دیگر،مقداربدست آمده ازاین تابع حاکم میباشد.بنابراین ازرابطه(34) برای محاسبه نیروهاوتغییرمکانهای تقریبی استفاده میشود.

43

در این حالت تابع gqr(X) مفیدتر بوده و از رابطه (36) برای محاسبه نیروها و تغییر مکان های تقریبی استفاده می شود. برای تعیین علامت iα بایستی مطابق رابطه (40) علامتm مشخص باشد. بدین منظور در اولین مرحله استفاده از روابط فوق،از رابطه(35) استفاده می شود و در مراحل بعدی از علامتm محاسبه شده درمرحله قبلی استفاده میگردد،باتوجه به اینکه درهرمرحله که iα مثبت باشد،مقدارm ازرابطه(35) ودرهرمرحله که منفی باشد،ازرابطه (37) بدست می آید.

مثال های عددی

دراین قسمت،با استفاده ازمطالب بخشهای قبل،بهینه سازی شبکه دولایه  فضاکار که درآن تابع هدف.وزن شبکه می باشد انجام می گیرد.
برنامه بهینه ساز مقاطع عرضی اعضای سازه را از 16 پروفیل توخالی گرد جدول (1) انتخاب می نماید.
سیستم دولایه مورد بررسی نوشتار،ازدوشبکه مربعی باطول ضلع مربع برابر a دربالاو پایین تشکیل شده واعضای میانی همگی مورب میباشند.
همچنین تمامی گره های پیرامونی لایه پایین، برروی تکیه گاه قرار دارند.در دو مثال حل شده خصوصیات زیر یکسان است:

%d9%85%d8%ab%d8%a7%d9%84-%d8%b9%d8%af%d8%af%db%8c

در روابط بالا E ، r و Fy  به ترتیب مدول الاستیسیته،چگالی و تنش تسلیم فولاد می باشند.

  • شبکه 20*20

دراین قسمت بهینه سازه فضاکار شکل(2)،بااستفاده ازتحلیلهای دقیق درخلال عملیات بهینه یابی محاسبه میشود،سپس بهینه همین سازه فضاکار بااستفاده ازتحلیلهای تقریبی محاسبه میگرددونتایج حاصل ازدوحالت مقایسه میشود.
در این مثال ها طول هر عضو لایه بالا و پایین  شبکه برابر 4 متر انتخاب گردیده است.

%d9%85%d9%82%d8%a7%db%8c%d8%b3%d9%87-%d9%85%d8%aa%d8%ba%db%8c%d8%b1%d9%87%d8%a7

  • شبکه 24*24

در این قسمت بهینه شبکه دو لایه شکل (3)، در دو حالت الف) فقط استفاده از تحلیل های دقیق و

ب) کمک گرفتن از تحلیل تقریبی

محاسبه ونتایج حاصل از دو حالت مقایسه میگردد.در این مثال طول هر عضو لایه بالا وپایین برابر 2/3 متر میباشد.

شبکه فضاکار

تهیه کنندگان :جواد سلاجقه، حسن میرعلی محمدی

نتیجه:

مقایسه بهینه با دو روش :
1-الگوریتم ژنتیک ساده بااستفاده ازتحلیل های دقیق و2-الگوریتم ژنتیک باکوچک ومحدود کردن بازه انتخاب متغیرها واستفاده ازتحلیلهای تقریبی،کارایی قابل توجه استفاده ازتقریب سازی رادراین تحقیق نشان میدهد.
کارایی روش به کارگرفته شده،درمرحله اول درزمینه کاهش زمان و درمرحله دوم دررسیدن به جواب بهینه ترواقتصادی تر میباشد.
همچنین در روش اول عموما،جواب حاصل از یک بار بهینه یابی قابل اعتماد نمی باشد و باید چند نوبت بهینه یابی با جمعیت های اولیه متفاوت انجام گیرد تا به جواب مناسب نائل شویم اما در روش دوم،جواب حاصل از یک نوبت بهینه سازی،تقریبا در همه موارد به عنوان جواب بهینه مناسب،قابل قبول می باشد.

علت این است که درروش اول فضای جستجو کل مجموعه دامنه فضای طراحی میباشد،درروش دوم،بازه محدودی ازدامنه انتخاب ودراین بازه بهینه سازی انجام میگیرد.
در نتیجه فضای طراحی به نحو بهتری جستجو می گردد و به جواب های بهتر و مطمئن تری می رسیم.
درموردزمان بهینه سازی،درهمه ابعاد متداول سازه های فضاکار ،استفاده ازروش دوم باکاهش زمان همراه بوده کاهش زمان بابزرگترشدن سازه مشهودترمیباشد.
محدودیت استفاده از روش فوق در صرف هزینه جهت محاسبه مشتقات می باشد.

%d9%81%d9%87%d8%b1%d8%b3%d8%aa-%d9%85%d8%b1%d8%a7%d8%ac%d8%b9

Copyright 2016